Texto base 9º Ano "B"

A fórmula de Bhaskara

Dificilmente um resultado matemático é fruto do pensamento de uma única pessoa. E, mesmo que esse resultado seja conhecido pelo nome de alguém, isso não significa que tenha sido essa pessoa quem o descobriu ou mais contribuiu para estabelecê-lo.

No Brasil, curiosamente, a fórmula de resolução da equação do 2º grau é conhecida, desde os anos 1960, por fórmula de Bhaskara. Não se sabe precisamente a origem desse costume, pois, em outros países e na literatura matemática, a fórmula não é conhecida assim. Mas, será que o hindu Bhaskara (1114-1185) teve algum papel na descoberta dessa fórmula? Qual teria sido esse papel?

Estudando a história do desenvolvimento da ciência, aprendemos que os hindus sempre demonstraram grande aptidão para a Matemática, em especial no que se refere a seus aspectos numéricos. A eles são creditadas, por exemplo, a criação do sistema de numeração que usamos hoje em dia e a primeira formulação conhecida da regra de sinais da regra de sinais da multiplicação de números reais, em geral, Bhaskara é considerado o maior matemático e astrônomo da Índia do século XII. Aliás, nesse país, de longa data, Matemática e Astronomia eram cultivadas conjuntamente – a primeira, em boa parte para servir à segunda.

Bhaskara também era astrólogo. Uma lenda talvez explique o fato de ter dado o nome de sua filha Lilavati ao capítulo de Aritmética de um grande tratado de Astronomia que escreveu (havia na obra, também, um capítulo sobre Álgebra). Segundo a lenda, Bhaskara calculou, com base em seu saber astrológico, a data e a hora propícias para o casamento da jovem. Chegado o dia, ela esperava, ansiosa, a hora prevista diante do relógio de água. Mas, sem que percebesse, uma pérola que enfeitava seus cabelos, caiu no fluxo de água, obstruindo-o. Com isso, a hora prevista passou, e o casamento não se realizou. O nome dado àquele capítulo seria uma forma de consolar a filha pelo desgosto.

Voltando às equações do 2º grau, cerca de três milênios antes de Bhaskara, os babilônios já sabiam resolvê-las – com coeficientes positivos e aceitando apenas as raízes positivas -, por um processo semelhante ao que se usa hoje, mas expresso numa receita verbal prática, não formulada genericamente. Esses cálculos se resumem à expressão moderna,ou seja, eles já aplicavam a “fórmula de Bhaskara”...

O grande matemático persa Al-Khowarizmi (século IX), responsável pela difusão da Álgebra na Europa, usava correntemente o método de completar o quadrado. Por exemplo, para resolver a equação x² + 10x = 39 (expressa em notação atual), ele fazia antes a seguinte transformação:

x² + 10x = x² + 2(x.5) = x² + 2(x.5) + 5² – 5² = (x+5)² – 25

Daí: (x+5)² – 25 = 39 e, portanto, (x+5)² = 64. donde x+ 5 = 8 e x = 3. (Observe que al-Khowarizmi ignorava a raiz quadrada negativa de 64).

A ideia usada atualmente para deduzir a “fórmula de Bhaskara” - que consiste em multiplicar o termo quadrático pelo quadruplo de seu coeficiente, para depois completar o quadrado no primeiro membro – se deve ao hindu Sridara (século XI), como o próprio Bhaskara deixou registrado. Bhaskara, por outro lado, mostrou que era possível completar o quadrado sem a multiplicação feita inicialmente por Sridara. Pelo que vimos, a fórmula de resolução de uma equação do 2º grau poderia ter outro nome, talvez mais justo (fórmula de Sridara, por exemplo). Mas por que não o de Bhaskara? Afinal, ele também deu sua contribuição ao estudo dessas equações e foi o último grande algebrista de um período de ouro da matemática hindu.

Adaptado de (Matemática e realidade: 9º ano / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Antonio Machado. - 6. ed. - São Paulo : Atual, 2009. - Páginas 91/92)

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Texto base 9º Ano "C"

EQUAÇÃO QUADRÁTICA

Em matemática, uma equação quadrática ou equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau dois. A forma geral deste tipo de equação é:

onde x é uma variável, e a, b e c são constantes, das quais a ≠ 0 (caso contrário, a equação torna-se linear). As constantes a, b e c, são chamadas respectivamente de coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante ou termo livre. A variável x representa um valor a ser determinado, e também é chamada de incógnita. O termo "quadrático" vem de quadratus, que em latim significa quadrado. Equações quadráticas podem ser resolvidas através da fatoração, do completamento de quadrados, do uso de gráficos, da aplicação do método de Newton ou do uso de uma fórmula (apresentada abaixo). Um uso frequente das equações do segundo grau é no cálculo das trajetórias de projéteis em movimento.

INTRODUÇÃO

A equação quadrática é, antes de tudo, um polinômio e que pertence ao segundo grau, isto é, tem como termo de maior grau (valor do expoente mais alto) um termo de expoente 2. A definição "a diferente de zero" é o que caracteriza a equação de segundo grau, visto que, a incógnita x é diretamente multiplicada pelo coeficiente a, levando-nos a crer que se a fosse igual a zero, anularia-se o x² e assim, a equação passaria a ser linear, de primeiro grau.

No século XII, o matemático Bhaskara Akaria se dispôs a resolver esta equação e publicar ao mundo suas descobertas. O maior problema dos matemáticos que tentavam achar valores para equação era o fato de haver um x de expoente 2 junto a um x de expoente 1. Sabiamente, Bhaskara aplicou princípios básicos, porém inteligentes, para finalmente achar um valor definitivo de x. A partir da descoberta de sua fórmula, diversas outras fórmulas se derivaram, como as fórmulas de Soma e Produto, Relações entre as Raízes ou os valores dos Vértices de uma função quadrática.

Paralela à evolução dos estudos matemáticos da equação de segundo grau, cresceu também sua representação gráfica a chamada função quadrática. Nela, foi possível nitidamente, observar que há sempre um cume, valor máximo que a incógnita pode ter (chamada de Vértice), assim como a direção para a qual os valores crescem, etc. O conhecimento já guardado das funções, quando aplicados na equação quadrática, facilitaram demasiadamente os estudos de matemáticos ao longo da história.

FÓRMULA

Uma equação do segundo grau cujos coeficientes sejam números reais ou complexos possui duas soluções, chamadas de raízes da equação. As raízes são dadas pela seguinte fórmula:

sendo a, b e c os mesmos coeficientes da equação de segundo grau, e o símbolo ± indica que uma das soluções é obtida através da soma e a outra por meio da diferença.

A fórmula acima é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática, isto é, os valores que x pode assumir. No Brasil, a fórmula é conhecida como Fórmula de Bhaskara, mas em outros países é conhecida simplesmente como a fórmula geral para resolução da equação polinomial do segundo grau,^[1] sem qualquer referência a Bhaskara, que foi um matemático e astrônomo indiano doséculo XII, e autor do livro Lilavat. A descoberta da fórmula costuma ser atribuída aos babilônios antigos, e sua formalização ao matemático persa Al-Khwarizmi^{[carece de fontes]}.

Disponível em <http://pt.wikipedia.org/wiki/Equação_quadrática>, acesso 26/04/2012.

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